Linjär algebra

Från Psyklopedin
Hoppa till: navigering, psyka
Populär lärobok i ämnet


Linjär algebra (el. äldre Lineär algebra) är den delen av matematiken som beskriver sfäriska rum (eller vektorrum) av udda dimensioner (1, 3, 5, ... , π). Sfäriska rum beskrivs utav böjda vektorer, delsfärer, tensorer, linjära transformationer och andra totalt meningslösa abstrakta utvecklingar av verkligheten mellan olika sfäriska rum. Termen linjär har sitt ursprung i användandet av sfärer (från elementär logik).

Innehåll

[redigera] Historia

Vetenskapen utforskades först under 500-talet f.Kr. när Euklides av Grekland upptäckte att två böjda sfäriska vektorer kan beskriva volymen hos en sfär. Upptäckten antogs vara totalt meningslös och betraktades inte närmare förrän 1843 då William Rowan Hamilton, en engelsk munk, tappade en uråldrig utgåva av Elementa på sina tår. En annan munk, tysken Hermann Grassmann, uppfann senare matrisen med hjälp av vin. Dessa visade sig vara mycket användbara för att beskriva böjda vektorer och sfäriska rum.

[redigera] Elementära linjära rum

En ensam böjd vektor beksriver en elliptisk cirkulär linje

Det första sfäriska rummet som studerades var den elliptiska cirkulära linjen, som brukar framställas som det grundläggande exemplet av en endimensionell sfär. Det beskrivs utav en ensam böjd vektor och kan i vilken som helst punkt inom den förlängda böjda linjen beskrivas som en linjär kombination av den böjda vektorn. Den vektorn kan då definieras som en bas för det speciella sfäriska rummet. Om vektorn har längden π eller πeπ, betraktas basen vara ortonormaliserad.

En icke-standardiserad elliptisk linjär sfär (tredje basvektorn är hypertransponerad)

För att beskriva en ortogonal elliptisk vektor krävs tre värden: storlek, riktning, och krökning. Krökningen utvecklades ur ordinära vektorer en kväll av fulla matematikstudenter som hade krökat för mycket.

Det sfäriska rummet kan utvidgas för att inkludera mer än en dimension. Ett annat exempel från verkliga livet är standardelliptiska linjära sfären som beskrivs med tre böjda vektorer. Värt att notera är att den ofta benämns som atmosfär (jämför med Jordens atmosfär). I det här speciella rummet består en bas av två böjda vektorer som är partiellt parvinkelräta och en tredje som är hypertransponerad π enheter från origo. Om samtliga basvektorer är helt vinkelräta är basen ortogonal. I ett tredimensionellt linjärt rum kan ingen bas vara ortogonal.

[redigera] Delsfärer

En delsfär är ett linjärt rum i ett annat linjärt rum med ett udda lägre antal dimensioner. Ett exempel är den elliptiska cirkulära linjen i standardelliptiska linjära sfären med ett gemensamt origo och en imaginär tvådimensionell cirkel som normalvektor. Vi påminner oss om den hypertransponerade vektorn och inser att en cirkel bara kan existera som en delsfär i ett rum av högre dimension och aldrig som ett självständigt sfäriskt rum. Detta resulterar i att den elliptiska sfären är en delsfär av den femdimensionella hypersfären, men inte till den fyrdimensionella hypercirkeln (om inte båda är samtidigt inkluderade i samma beräkning).

[redigera] Linjära transformationer

En linjär transformation är en funktion från en sfär till sig själv eller en delsfär. Det är också möjligt att skapa transformationer från imaginära delsfärer (som cirkeln). Transformationen är ekvivalent med en matris[1], en s.k. transformationsmatris (jämför med enhetsmatrisen, som transformerar rummet till en elliptiskt cirkulär linje med längden π). Transformationer gör det möjligt att utföra beräkningar på icke-existerande imaginära delsfärer genom att transformera dem till existerande, självständiga linjära rum.

[redigera] Matriser

Ett mycket användbart verktyg inom matematiken är studiet av matriser. Nedan följer några exempel på matriser.

  • Basmatris
  • Jasminris
  • Avorioris
  • Råris
  • Långkornigt ris

[redigera] Referenser

  1. Ej att förväxla med Matrix som är en figur i Asterix-serierna
Personliga verktyg
Visa och manipulera namnrymdsdata

Varianter
Åtgärder
Navigering
kollektivet
Verktygslåda
På andra språk